’n Terugblik op die Quillen-Suslin-stelling en die huidige status van die Bass-Quillen-vermoede
Suid-Afrikaanse Tydskrif vir Natuurwetenskap en Tegnologie/South African Journal of Science and Technology
| Field | Value | |
| Title | ’n Terugblik op die Quillen-Suslin-stelling en die huidige status van die Bass-Quillen-vermoede A glance back at the Quillen-Suslin theorem and the recent status o f the Bass-Quillen conjecture | |
| Creator | Lemmer, A. A. Naudé, G. | |
| Description | In sy beroemde FAC-artikel het J.P. Serre die vraag geopper of alle eindigvoortgebringde projektiewe module oor K[X1,...,Xn] (K ’n liggaam) vry is of nie. Die probleem het spoedig in die wiskundegemeenskap bekend gestaan as “Serre se vermoede” en is in 1976 onafhanklik deur A.A. Suslin en D. Quillen bewys. Verwante belangrike ontwikkelinge het veral uit die idees in Quillen se bewys gevolg. In hierdie artikel bespreek ons die meetkundige motivering van die oorspronklike probleem, asook enkele aspekte van Quillen se bewys. Daarna word aandag gegee aan van die belangrikste verdere ontwikkelinge, onder meer ’n bewys dat eindigvoortgebringde projektiewe module oor R [X1,...,Xn], R ’n Bezout-gebied, vry is. Ons gee ook aandag aan nuwe resultate oor die bestaan van vry sommande in projektiewe module. Die werk gee in die geval van polinoomringe ’n aansienlike verskerping van Serre se beroemde vryesommandstelling: A s R ’n Noetherse ring is en P is ’n eindigvoortgebringde projektiewe R-moduul met rang P dim R, dan besit P ’n vry, rangeensommand. Ten slotte bespreek ons die huidige stand van die belangrikste oop probleem in diegebied, naamlik die Bass- Quillen-vermoede: As R ’n regulier-lokale ring is, is alle eindigvoortgebringde projektiewe R[X1,...,Xn]-module vry? In his famous FAC-article J.P. Serre asked whether all finitely generated projective modules over K[X1,...,Xn] (K a field) are free. This question soon became known in the mathematical society as “Serre’s Conjecture”. This conjecture was proved independently in 1976 by A. A. Suslin and D. Quillen. Important further developments followed from the ideas in Quillen’s proof. In this article we discuss the geometric motivation of the original problem as well as certain aspects of Quillen’s proof. Then we discuss further developments, in particular a proof that finitely generated projective modules over R[X1,...,Xn], R a Bezout domain, are free. We also give attention to new results on the existence of free summands in projective modules. In the case of polynomial rings, this work strengthens Serre’s famous free summand theorem: if R is a Noetherian ring and P is a finitely generated projective R-module such that rank P dim R, then there exists a free rank one summand in P. Finally we discuss the present status of the most important open problem in this field, namely the Bass-Quillen Conjecture: if R is a regular local ring, is every finitely generated projective R[X1,...,Xn] module free? | |
| Publisher | AOSIS | |
| Date | 1989-03-14 | |
| Identifier | 10.4102/satnt.v8i1.859 | |
| Source | Suid-Afrikaanse Tydskrif vir Natuurwetenskap en Tegnologie; Vol 8, No 1 (1989); 3-8 Suid-Afrikaanse Tydskrif vir Natuurwetenskap en Tegnologie; Vol 8, No 1 (1989); 3-8 2222-4173 0254-3486 | |
| Language | eng | |
| Relation |
The following web links (URLs) may trigger a file download or direct you to an alternative webpage to gain access to a publication file format of the published article:
https://journals.satnt.aosis.co.za/index.php/satnt/article/view/859/1797
|
|
ADVERTISEMENT
